Osterzyklus

In der deutschsprachigen Wikipedia findet sich das Stichwort Osterzyklus mit einer Diskussionsseite sowie eine weitere Seite mit einer Diskussion über den mathematischen Hintergrund der Osterrechnung (abgerufen am 26.08.2012). Der Wikipedia-artikel dürfte für viele unverständlich sein, jedenfalls ist er es für den Verfasser dieser Zeilen. Die Seite Statistik der Osterdaten wird in Wikipedia angesprochen, offensichtlich aber nicht verstanden. Dies war der Anlass für die folgenden Ausführungen über den Osterzyklus und für diese Vorbemerkungen, die eigentlich in ein Lehrbuch "Mathematik für Anfänger" gehören.

Modulo-Division, Zyklus und Periode

Alle Berechnungen zur Bestimmung des Osterdatums werden ausschliesslich mit positiven Ganzzahlen durchgeführt. Dies gilt auch für Divisionen. Es zählt entweder nur das ganzzahlige Ergebnis (a = b div c) oder der ganzahlige Rest der Division (a = y mod c).

Zyklus

Ein Zyklus ist ein immerwährender Kreislauf von Ereignissen, deren Abfolge sich nach einer bestimmten Anzahl wiederholt. Diese Anzahl ist die Periode des Zyklus. Nach Ablauf einer Periode kehrt man an deren Ausgangspunkt zurück, die Abfolge der Ereignisse wiederholt sich.
Anstelle von "ein Zyklus mit einer Periode von x Jahren" kann man auch vereinfachend von einem "Zyklus von x Jahren" sprechen.

Die Modulo-Division

Eine Modulo-Division, angewandt auf eine Zahlenreihe, zum Beispiel auf Kalenderjahre, führt zu einem Zyklus, dessen Periode dem Devisor entspricht. Bei den folgenden Beispielen steht y für eine Jahreszahl.

Regeln der Modulo-Division
Eine neue Periode beginnt immer dann, wenn der Dividend b den Wert c oder ein Vielfaches von c erreicht.

a = b mod c
a ist das Ergebnis, b der Dividend und c der Divisor der Modulodivision

Dies gilt auch, wenn der Dividend ein Bruch ist.

a = (b div x) mod c
In diesem Fall beginnt eine neue Periode, wenn (b div x) den Wert c oder ein Vielfaches von c erreicht. Gegebenenfalls muss (b div x) dahingehend erweitert werden

Beispiele:

   1.:  a = y mod 19
          = (y div 1)     mod 19
          = (19 y div 19) mod 19             Periode:   19
   2.:  a = (3 y div   400)          mod 30
          = (10 * 3 y div 10 *  400) mod 30
          = (30 y div  4000)         mod 30  Periode:  4000
   3.:  a = (8 y div 2.500)          mod 30
          = (15 * 8 y div 15 * 2500) mod 30
          = (120 y div 37500)        mod 30  Periode: 37500

Die Periode ändert sich nicht, wenn (b mod c) weiter bearbeitet wird.

a = x * b mod c : Periode ist c
a = x + b mod c : Periode ist c

Setzt sich ein Zyklus aus mehreren einzeln Zyklen mit unterschiedlicher Perioden zusammen, so ist die Gesamtperiode das kleinste gemeinsame Vielfache der einzelnen Perioden.

a = (b mod c + d mod e ) mod f
Die Periode von f ist das kgV von c und e

Beispiel:

     a =  y mod 4   +  y mod 7
        |Periode 4| |Periode 7| Gemeinsame Periode: 28

Besteht der Dividend einer Modulo-Division aus mehreren Gliedern, kann vorher gekürzt werden

a = (b + c + d + e) mod x = (b mod x + c + d mod x + e mod x) mod x

Das Datum des Osterfests

Nach dem Zeugnis der Evangelien war der Tag der Auferstehung der Sonntag nach dem jüdischen Passah. Nach längeren Auseinandersetzungen einigten sich die Christen darauf, dass Ostern, die Jahrfeier dieses Ereignisses, zu feiern sei am Sonntag nach Passah. Die Christen berechnten den Passahtag unabhängig von den Juden. Nach dem 2. Buch Moses schlachteten die Juden in Ägypten das Passahlamm am 14. Tag des Frühlingsmonats Nisan nach dem Mondkalender. Der 14. Tag eines Mondmonats ist der Vollmondtag. Daher auch die vereinfachende Formulierung: "Ostern ist am Sonntag nach dem "Frühlingsvollmond". Der bürgerliche Kalender der Christen im Westen war der julianische Kalender. Um das Datum des "Frühlingsvollmonds", den 14. Nisan oder die "Luna XIV paschalis", im julianischen Sonnenjahr zu bestimmen, griffen die Christen auf die seit Jahrhunderten bekannte Regel zurück: 19 Mondjahre entsprechen 19 Sonnenjahre. Das heisst, dass nach 19 Jahren alle Daten im Mondjahr auf das gleiche Datum im Sonnenjahr fallen, so auch der Tag des "Frühlingsvollmonds", dessen Abfolge im Sonnenjahr sich in einem Zyklus von 19 Jahren wiederholt. Dieser Zyklus wird auch Mondzirkel genannt.

Im julianischen Sonnenjahr wird in jedem vierten Jahr ein Schalttag eingefügt. Die Woche hat sieben Tage. Nach 4 * 7 gleich 28 Jahren wiederholt sich daher die Abfolge der Wochentage. Dieser Zyklus wird auch Sonnenzirkel genannt.

Der julianische Osterzyklus

Wie gerade erläutert gibt es nach der alten Osterrechnung nur 19 Tage, auf die das Datum des Frühlingsvollmonds fallen kann. Man rechnete nun allerdings nicht direkt mit diesem Datum, sondern mir der Epakte. Die Epakte ist vereinfachend gesagt eine Hilfsgrösse, die den Abstand der Luna XIV paschalis, des Frühlingsvollmonds, zu einem bestimmten Datum beschreibt. Es gibt 19 Tage für den Frühlingsvollmond und somit auch 19 Epakten, deren Abfolge sich in einem Zyklus von 19 Jahren wiederholt. Berücksichtigt man noch den Zyklus der Wochentage so kommt man auf einen Gesamtzyklus von 4 * 7 * 19 gleich 532 Jahren. Alle 532 Jahre wiederholt sich die Abfolge des Datums des Osterfestes im Julianischen Kalender

Der gregorianische Osterzyklus

Die gregorianische Kalenderreform behielt die alte Osterrechnung dem Grunde nach bei, so vor allem auch den 19jährigen Mondzirkel. Es wurden lediglich durch je eine zusätzliche Schaltung sowohl das Sonnenjahr wie auch das Mondjahr den Himmelsbewegungen angepasst.

Die Anpassung des Sonnenjahres (aequation solaris)
Weiterhin ist jedes vierte Jahr ein Schaltjahr, Jahrhundertjahre sind keine Schaltjahre mehr, es sei denn, sie liessen sich durch 400 ohne Rest teilen.

Die Anpassung des Mondjahres (aequation lunaris)
19 Sonnenjahre sind geringfügig länger als 19 Mondjahre. Man beschloss daher, innerhalb eines Zeitraums von 2.500 Jahren das Mondjahr um 8 Tage gegen das Sonnenjahr zu verschieben.

Der Zyklus der Wochentage: Der 28jährige Zyklus der Abfolge der Wochentage wurde durch den Ausfall von drei Tagen in 400 Jahren gestört. 400 gregorianische Kalenderjahre enthalten (400 * 365.25 - 3 gleich 146097 Tage. Das sind genau 20871 Wochen. Der Zyklus der Wochentage ist gleich dem Zyklus aequatio solaris 400 Jahre und muss bei den folgenden Überlegungen nicht eigens berücksichtigt werden.

Die Verschiebung der Epakten: Die zusätzlichen Schaltungen wirken sich auch auf die Epakten aus. Es gibt nicht mehr wie bisher 19 Epakten sondern 30, die sich infolge der zusätzlichen Schaltungen mit den Jahrhundertjahren verschieben. Erst alle 300.000 Jahre wiederholt sich die Abfolge der Epaktenverschiebung. Für die Bestimmung des Osterdatums eines jeden Jahres muss noch der 19jährige Mondzirkel berücksichtigt werden. Erst nach 19 mal 300.000 Jahren, das heisst nach 5.700.000 Jahren wiederholt sich somit die Abfolge des Osterdatums

Der gregorianische Osterzyklus beträgt 5.700.000 Jahre. Hierfür gibt es eine Reihe von Beweisen.

1. Beweis

Nach den Bestimmungen von Papst Gregor XIII. aus dem Jahre 1582 verschiebt sich durch die Anpassung des Sonnenjahres, dem Ausfall von drei Schalttagen in 400 Jahren, das Datum des Frühlingsvollmonds um drei Tage in Richtung Ende April. Gleichzeitig schreitet dieses Datum durch die Angleichung des Mondjahres in 2.500 Jahren um acht Tage zurück in Richtung Anfang März.

In zehn Jahrtausenden, dem kleinsten gemeinsame Vielfachen von 400 und 2.500, verschiebt sich die Epakte durch die Anpassung des Sonnenjahres um 3 * 25 gleich 75 Tage, durch die Anpassung des Mondjahres gegenläufig um 8 * 4 gleich 32 Tage, insgesamt also um 75 - 32 gleich 43 Tage. Zieht man einen vollen Umlauf von 30 Tagen ab, so beträgt diese Verschiebung in 10.000 Jahren 13 Tage.

Die Frage, wie oft der Zeitraum von 10.000 Jahren durchlaufen werden muss, bis sich die Epakten genau um ein Vielfaches von 30 Tagen verschoben haben werden, ist leicht zu beantworten: Erst nach 30 Zyklen à 10.000 Jahren, also nach 300.000 Jahren, wird der Wert der Epaktenverschiebung 0 betragen, wird man also zum Ausgangspunkt zurückgekehrt sein. Berücksichtigt man noch den 19jährigen Zyklus des Mondzirkels, der ja durch die Reform nicht geändert wurde, so kommt man zu dem Ergebnis, dass sich die Folge der Ostersonntage erst nach 5.700.000 Jahren wiederholt.

2. Beweis

Es wurde bereits angesprochen, dass die Verschiebung der Epakten zwei Ursachen hat, die Angleichung des Sonnenjahres und die Angleichung des Mondjahres.
Die aequatio solaris bewirkt eine Verschiebung der Epakten um 3 Tage in 400 Jahren, das heisst um 30 Tage, also um einen ganzen Zyklus, in 4.000 Jahren
Die aequatio lunaris bewirkt eine Verschiebung der Epakten um 8 Tage in 2.500 Jahren, das heisst um 120 Tage, also um genau 4 Zyklen, in 37.500 Jahren
Der Zyklus der Epaktenverschiebung setzt sich somit zusammen aus dem Zyklus der aequatio solaris und dem Zyklus der aequatio lunaris.
Der Zyklus der Epaktenverschiebung ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 4.000 und 37.500.
Der Zyklus der Epaktenverschiebung ist 300.000 Jahre.

Der Osterzyklus setzt sich zusammen aus dem 19jährigen Zyklus des Mondzirkels und dem Zyklus der Epaktenverschiebung von 300.000 Jahren.
Der Osterzyklus ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 19 und 300.000 Jahren.
Der Osterzyklus ist ein Zyklus von 5.700.000 Jahre.

3. Beweis (nach Clavius)

Wer diese Überlegungen nicht nachvollziehen kann, der fertige einfach eine Tabelle an, in die er die Veränderungen der Epakten durch die Jahrhundertsprünge einträgt. Er wird feststellen, dass sich nach 3.000 Einträgen die Abfolge der Veränderungen wiederholt.

Tabelle der Epaktenveränderung durch die Angleichungen des Sonnen- und des Mondjahres:

	aequatio lunaris	aequatio solaris	Epakte neu	Luna XIV für 1. Jahr	C. F. Gauss Variable M
bis 1582			8	5. April	15
ab 1582	-3	+10	1	12. April	22
ab 1600	0	0	1	12. April	22
ab 1700	0	+1	*	13. April	23
ab 1800	-1	+1	*	13. April	23
ab 1900	0	+1	29	14. April	24
ab 2000	0	0	29	14. April	24
ab 2100	-1	+1	29	14. April	24
ab 2200	0	+1	28	15. April	25
u.s.w.

Clavius hat diese Arbeit bereits erledigt. Von ihm stammt die "Tabulua aequationis", abgedruckt in der Romani calendarii explicatio, Ausgabe Rom 1603, S. 134 - 153. Sie reicht bis zum Jahr 303 300. Am Ende schreibt Clavius: "Atque ita in infinitum, eo ordine ab anno 301 700 servato, qui ab anno 1700 servatus est, ut hic factum esse vides." Auch nach Clavius beträgt der Zyklus der Epaktenverschiebung 300.000 Jahre.

Wie man aus obiger Tabelle sieht, wechselt im Jahr 1700 die Epakte von 1 auf * (b.z.w. die Variable M in der Osterformel von C. F. Gauss, die auch als die "Gauss´sche Epakte bezeichnet wird von 22 auf 23).
Das nächste Mal wird dieser Wechsel im Jahr 301700 stattfinden.

4. Beweis nach Gauss

Natürlich konnte man bereits vor Gauss das Osterdatum nach dem gregorianischen Kalender berechnen, und nach Gauss wurden zahlreiche weitere Methoden hierfür veröffentlicht. Nur Gauss hat es aber verstanden, jede einzelne Regel der gregorianischen Kalenderreform in eine eigene Formel zu fassen und diese dann zu einem Algorithmus zu verbinden, der an Klarheit und Einfachheit nicht zu übertreffen ist.

Variable e

Nun sind noch die Wochentage zu berücksichtigen. Gauss berechnet in der Variablen e direkt den Abstand des Frühlingsvollmondes, der Epakte eines jeden Jahres, zum nächsten Sonntag.

Da in e die Variable d enthalten ist, deren Zyklus wie gerade gezeigt 5.700.000 Jahren beträgt, ikann der Zyklus von e nicht kleiner als 5.700.000 Jahre sein. Es muss also gezeigt werden, dass die anderen Variablen, insbesondere die Modulo-Division mit 7, keinen Einfluss auf den Gesamtzyklus haben. Im folgenden wir d nicht berücksichtigt.

Der Zyklus von e muss eine Periode von mindestens 400 Jahren haben, da in ihm die Formel der aequatio solaris enthalten ist. Setzt man 400 in die Fromel ein, gilt:

Mit der Osterformel von C. F. Gauss, deren Richtigkeit wohl nicht bestritten wird, kann manzeigen, dass sich die Abfolge des Osterdatums in einem Zyklus von 5.700.000 Jahren wiederholt.

Zur Zusammensetzung des gregorianischen Osterzyklus

Der Osterzyklus nach dem gregorianischen Kalender hat eine Periode von 5.700.000 jahren, wie bewiesen wurde.

Die Berechnung der durchschnittlichen Dauer eines Mondmonats ist etwas umständlicher:

N A. B	Der Zyklus des Osterfestes
Gliederung	Vorbemerkung Das Datum des Osterfests Die Periode des julianischen Osterzyklus Die Periode des gregorianischen Osterzyklus 1. Beweis 2. Beweis 3. Beweis (nach Clavius) 4. Beweis (nach Gauss) Zur Zusammensetzung des gregorianischen Osterzyklus Weitere Artikel zu dieser Thematik