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N A. B Die Osterformel von C. F. Gauss
Teil 1: Grundlagen
Inhalt
zu Teil 2: Ausführliche Darstellung zur Einführung

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Die kirchlichen Regeln zur Bestimmung des Osterdatums

Viele Jahrhunderte lang gab es einen erbittterten Streit zwischen den christlichen Gemeinschaften über die Frage, wann der wahre Ostertermin sei. Erst anfangs des 9. Jahrhunderts einigte man sich. Von da ab feierten alle Christen Ostern am gleichen Tag, der berechnet wurde nach Regeln, die Ende des 3. Jahrhunderts in Alexandria entwickelt worden waren.

Nach dem Zeugnis der Bibel stehen Kreuzigung und Auferstehung Christi in engem zeitlichen Zusammenhang mit dem jüdischen Passahfest. Alle Christen waren sich daher einig, dass der Ostertermin nach den Grundsätzen der jüdischen Zeitrechnung festzulegen sei. Im jüdischen Kalender richten sich die Monate nach den Phasen des Mondes. Der Monat beginnt mit Neumond, genauer gesagt mit Neulicht, das heisst an jenem Abend, da erstmals nach Neumond die Mondsichel wieder sichtbar ist. Das Jahr hat 12 Monate, in jedem zweiten oder dritten Jahr wird ein Schaltmonat hinzugefügt, um das Jahr mit den Sonnenlauf in Übereinstimmung zu halten. Das jüdische Passah wird am 14. und 15. Tag des Monats Nisan, des Frühlingsmonats, gefeiert.

Die kirchliche Regel für den Ostertermin ist nun:

Der 14. Tag eines Mondmonats wurde einfach "Mond 14", lateinisch "luna XIV" genannt. Da der Monat mit dem Neulicht beginnt, ist Luna XIV der Tag des Vollmonds. Der 21. März galt als Tag des Frühlingsbeginns. Daraus entstand im Volk die vereinfachende Regel: "Ostern ist am ersten Sonntag nach dem Frühlingsvollmond."

Um die Luna XIV, den Tag des sogenannten Frühlingsvollmond, zu berechnen griff man auf eine Erkenntnis zurück, die schon im 5. Jahrhundert vor Chr. im Kalender von Babylon Anwendung fand. 19 Mondjahre, 12 Gemeinjahre zu 12 Monaten und 7 Schaltjahre zu 13 Monaten, entsprechen (recht) genau 19 Sonnenjahren zu 365 Tagen und 6 Stunden. Das heisst, nach 19 Jahren fällt jedes Datum im Mondjahr wieder auf den gleichen Tag im Sonnenjahr. Der christlichen Osterrechnung liegt dieser Zyklus von 19 Jahren zugrunde. Im ersten Zyklusjahr fällt Luna XIV auf den 5. April, im folgenden Jahr liegt sie 11 Tage früher, also auf dem 25. März. Im dritten Jahr würde Luna XIV vor den 21. März fallen. Daher ist ein Schaltmonat von 30 Tagen einzufügen, der Luna XIV auf den 13. April verschiebt

Die folgende Tabelle soll dies verdeutlichen.
  Zyklusjahr Luna XIV
1  5. April 36. März
2 25. März 25. März
3 13. April 44. März
4  2. April 33. März
5 22. März 22. März
6 10. April 41. März
7 30. März 30. März
8 18. April 49. März
9  7. April 38. März
10 27. März 27. März
11 15. April 46. März
12  4. April 35. März
13 24. März 24. März
14 12. April 43. März
15  1. April 32. März
16 21. März 21. März
17  9. April 40. März
18 29. März 29. März
19 17. April 48. März
1  5. April 36. März

Es gab also insgesamt nur 19 Tage für Luna XIV, den Frühlingsvollmond. In den alten Kalendern war die berühmte "Goldene Zahl", verzeichnet, die das entsprechende Zyklusjahr angab. So konnte jeder das Datum des Osterfests leicht selbst bestimmen.

Die gregorianische Kalenderreform

So klar und einfach die kirchlichen Regeln zur Bestimmung des Osterdatums auch waren, sie hatten einen Nachteil, sie waren nicht sehr genau. Im Laufe der Jahrhunderte wich der Kalender immer mehr von den Bewegungen der Himmelskörper ab. Mitte des 16. Jahrhunderts lag der astronomische Frühlingsbeginn rund 10 bis 11 Tage vor dem 21. März, dem kalendarischen Anfang des Frühlings, und der wahre Vollmond trat erst drei bis vier Tage nach Luna XIV ein. Papst Gregor XIII. verkündete daher 1582 eine Reform des Kalenders, in der durch einige zusätzliche Schaltungen der Kalender wieder in Übereinstimmung mit dem Lauf von Sonne und Mond gebracht werden sollte.

Die Anpassung des Sonnenjahres: aequatio solaris

Um den 21. März wieder auf den Tag des Frühlingsanfangs zu legen wurde beschlossen, einmalig zehn Tage aus dem Kalender zu streichen. Auf den 4. Oktober 1582 folgte der 15. Oktober. Die alte Schaltregel wurde grundsätzlich beibehalten, jedoch sollten von nun an die Jahrhundertjahre keine Schaltjahre mehr sein, es sei denn die Jahreszahl liesse sich durch 400 ohne Rest teilen. Die Jahre 1600 und 2000 waren weiterhin Schaltjahre, nicht jedoch 1700, 1800 und 1900.

Die Anpassung des Mondkalenders: aequatio lunaris

Um Luna XIV wieder auf den Tag des Vollmondes zu legen wurde 1582 der Mondkalender um drei Tage gegen das Sonnenjahr verschoben. Des weiteren sollte ab 1800 alle 300 Jahre eine erneute Verschiebung um einen Tag stattfinden. So jedenfalls stellt es sich vereinfacht dar. In Wirklichkeit war die Anpassung des Kalenders an den Mondlauf noch komplizierter und genauer: Beginnend mit 1800 sollte in einem Zyklus von 2500 Jahren 8 mal um je einen Tag verschoben werden.

Die Auswirkung der Reform auf die Osterrechnung

Nach der alten Osterberechnung lag im ersten Zyklusjahr Luna XIV immer auf dem 5. April. Durch die neue "aequatio solaris" wurde dieser Tag nun zum 15. April, durch die "aequatio lunaris" verschob sich Luna XIV vom 15. auf den 12. April. Für die restlichen Zyklusjahre wird sie weiterhin in gewohnter Weise bestimmt.

aequatio
lunaris
aequatio
solaris
Luna XIV
für 1. Jahr
bis 1582 5. April
ab 1582-3+1012. April
ab 1600 00 12. April
ab 17000+113. April
ab 1800-1+113. April
ab 19000+1 14. April
ab 20000014. April
ab 2100-1+114. April
ab 22000+1 15. April
u.s.w.

Eine Sonderregelung ist noch zu erwähnen. Der späteste Ostertermin war bisher der 25. April. Dies durfte auf keinen Fall geändert werden. Durch die neu eingeführten Schaltungen hätte es vorkommen können, dass Ostern in seltenen Fällen auf den 26. April zu liegen kommt. Um dies zu verhindern erdachte man sich eine recht komplizierte Regel, die Ostern vom 26. auf den 19. April verschiebt, zuweilen aber auch dazu führt, dass Ostern vom 25 April auf den 18. April verlegt wird.


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Die Osterformel von C. F. Gaus

Der berühmte Mathematiker Carl Friedrich Gauss Gauss hat es verstanden, diese ganze umfangreiche Literatur in einigen wenigen Zeilen zusammenzufassen. Im August 1800 veröffentlichte er einen kleinen Aufsatz, in dem er eine neue Methode zur Berechnung des Osterfestes vorstellte. Allerdings erläuterte er weder seine Formel noch gab er irgendwelche Hinweise auf seine Quellen. Mit grosser Wahrscheinlichkeit lag ihm das Traktat De anno et ejus partibus vor, das am Anfang eines jeden Messbuchs der katholischen Kirche abgedruckt war. Hier findet sich eine zusammenfassende Darstellung der Kalerderreform verbunden mit praktischen Hinweisen zur Ermittlung des Osterdatums bis zum Jahre 2100. So konnte es geschehen, dass Gauss über den genauen Zyklus Lunarverschiebungen nicht informiert war. Sie wird im Messbuch nicht erwähnt, da sie sich erst ab dem Jahre 4200 ausgewirkt hätte. Erst im Jahr 1816 veröffentlichte er eine kurze Berichtigung seiner ursprünglichen Formel, die den Zyklus von 2500 Jahren berücksichtigt.

Die Formel von Gauss gilt sowohl für die julianische wie auch für die gregorianische Osterberechnung. Die Differenz zwischen diesen beiden Kalendern lässt sich leicht darstellen [INT bedeutet Abrundung auf die nächstkleinere Ganzzahl]:

  Sonnenjahr: INT (Jahr / 100) - INT (Jahr / 400) - 2  
  Mondjahr: INT (Jahr / 300) - 2 (1. Version von Gauss)
    INT (8 * INT (Jahr / 100) + 13) / 25) - 2) (korrigierte Fassung)

Die endgültige Fassung der Formel Berechnung des Osterdatum lautet nun in einer der heute üblichen Schreibweise angepassten Form:
julianisch:    N =  6
               M = 15

gregorianisch: N =  6 + INT(Jahr/100) - INT(Jahr/400) - 2
               M = 15 + INT(Jahr/100) - INT(Jahr/400)
                      - INT((8 * Int(Jahr /100 + 13) / 25)

        a = Jahr mod 19
        b = Jahr mod 4
        c = Jahr mod 7
        d = (M + 19 * a) mod 30
        e = (2 * b + 4 * c + 6 * d + N) mod 7
        wenn: (d + e == 35)                       dann: (d + e = 28)
        wenn: (d == 28) und (e == 6) und (a > 10) dann: (d + e = 27)
ostern: (22 + d + e)ter März  

Erläuterungen:

Variable a: Jahr im 19jährigen Osterzyklus, Wert 0 bis 18, entspricht der um 1 verringerten Goldenen Zahl.

Variable b: Zyklus der Schaltjahre, Wert 0 bis 3.

Variable c: Zyklus der Wochentage, Wert 0 bis 6.

Variable d: Abstand der Luna XIV vom 21. März, Wert 0 bis 29.
        

Die Variable M bezeichnet den Abstand im ersten Zyklusjahr (a = 0). Im julianischen Kalender ist M immer gleich 15. Im gregorianischen Kalender muss sowohl die Anpassung des Sonnenjahres wie auch die des Mondjahres berücksichtigt werden.

Der Wert 19 entspricht der Zahl der Tage, um die sich Luna XIV jedes Jahr verschiebt. Es ist mathematisch gleich, ob ich von einem gegebenen Wert kontinuierlich 11 abziehe um dann, wenn das Ergebnis kleiner 0 ist 30 hinzufüge, oder ob ich jedesmal 19 hinzufüge, um dann 30 abzuziehen, wenn das Ergebnis grösser als 29 ist.

Variable e: Abstand des auf Luna XIV folgenden Tages (frühester Ostertermin) zum folgenden Sonntag, Wert 0 bis 6

2 * b + 4 * c: Würde in jedem Jahr der gleiche Wochentagskalender gelten, könnte man den Wochentag des auf Luna XIV folgenden Tages durch die Divison (6 * d) mod 7 bestimmen.
Nun schreitet aber der Wochentag nach jedem Gemeinjahr um einen Tag vorwärts, nach jedem Schaltjahr um einen weiteren Tag, dies ist der sogenannte Sonnenzirkel, ein Zyklus von 4 mal 7 gleich 28 Jahren.

Die folgende Tabelle zeigt in der 1. Zeile den Sonnenzirkel, in den 2. Zeile den Abstand zu immer dem gleichen Tag 7:
(x bezeichnet ein Schaltjahr)
1235x6713x4561x2346x7124x5672x3457x
6542x1064x3226x5431x0653x2105x4320x
Gauss berechnet diese 2. Zeile mit der Formel (2 * b + 4* c) mod 7

Die Variable N beschreibt den Abstand des so gefundenen Wochentags zum folgende Sonntag. Im julianischen Kalender ist N immer 6. Im gregorianischen Kalender muss der Ausfall der Schalttage in den Jahrhundertjahren berücksichtigt werden.

wenn: .. dann: Diese beiden Abfragen berücksichtigen die Regelungen, die getroffen wurden, um die Ostergrenze 25. April einzuhalten


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